Za niezależnym rozwiązaniem hipotezy z zakresu teorii liczb przez GPT: odpowiedź ukryta była w pracy sprzed 80 lat

18 stycznia, były badacz ilościowy Neel Somani ogłosił na platformie społecznościowej, że samodzielnie rozwiązał Problem Erdősa nr 281 (Problem 281) przy pomocy GPT-5.2 Pro. Jest to hipoteza matematyczna zaproponowana w 1980 roku przez matematyków Paula Erdősa i Ronalda Grahama, długo nie rozwiązana publicznie.

Somani twierdzi, że dowód został uznany przez laureata Medalu Fieldsa Terence'a Tao, który ocenił go jako„być może najbardziej wyraźny przykład dotychczas, gdy sztuczna inteligencja rozwiązała nierozwiązany problem matematyczny”.

(Źródło: erdosproblem)

Współzałożyciel OpenAI, Greg Brockman, natychmiast udostępnił i skomentował: „GPT-5.2 Pro używany do rozwiązania kolejnego nierozwiązanego problemu Erdősa. Postęp w matematyce i nauce będzie w tym roku dynamiczny!” W krótkim czasie wiadomość o „samodzielnym pokonaniu przez AI 45-letniego problemu matematycznego” rozprzestrzeniła się szeroko w mediach społecznościowych.

(Źródło: X)

Nie jest to pierwszy raz, gdy Somani użył narzędzi AI do rozwiązania problemu Erdősa. Kilka dni wcześniej złożył dowód na Problem 397 — hipotezę dotyczącą iloczynu współczynników dwumianowych środkowych. Dowód ten również został wygenerowany przez GPT-5.2 Pro i przekształcony na kod Lean za pomocą narzędzia formalnej weryfikacji Harmonic Aristotle, a następnie potwierdzony przez Terence'a Tao jako poprawny.

Somani początkowo chciał tylko przetestować matematyczne zdolności dużych modeli językowych, aby sprawdzić, kiedy mogą skutecznie rozwiązywać otwarte problemy matematyczne, a kiedy napotykają trudności, ale nieoczekiwanie odkrył, że granice możliwości najnowszego modelu znacznie się przesunęły.

W ciągu kilku dni, duży model rozwiązał dwa „trudne” problemy, które pozostawały nierozwiązane przez lata. Pojawiły się komentarze: czy oznacza to, że zdolności matematyczne AI osiągnęły poziom ludzkich matematyków?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, być może trzeba najpierw zrozumieć, czym są „problemy Erdősa”.

Paul Erdős był jednym z najbardziej płodnych matematyków XX wieku, opublikował ponad 1500 artykułów naukowych. Miał zwyczaj stawiać hipotezy matematyczne i ustanawiać nagrody pieniężne od 25 do kilku tysięcy dolarów w zależności od trudności.Po jego śmierci pozostało ponad tysiąc nierozwiązanych problemów, obejmujących teorię liczb, kombinatorykę, teorię grafów i inne dziedziny, zbiorczo zwane „problemami Erdősa”.Te problemy są obecnie śledzone na stronie internetowej erdosproblems.com prowadzonej przez matematyka z Uniwersytetu Cambridge, Thomasa Blooma.

Zdjęcie | Paul Erdős z 10-letnim Terence'em Tao (Źródło: Wikipedia)

Jednakże, poziom trudności tych nierozwiązanych problemów jest bardzo zróżnicowany: z jednej strony są uznane, kluczowe trudności, z drugiej — wiele „długiego ogona” problemów, które przez długi czas były ignorowane. Nie są one nierozwiązywalne, po prostu nie było wystarczającej motywacji, by je badać.

Od Świąt Bożego Narodzenia 2025 roku, na tej stronie 15 problemów przeszło ze stanu „otwarte” do „rozwiązane”, z czego 11 dotyczyło udziału modeli AI. Jednak nie wszystkie „rozwiązania AI” są oryginalne. W październiku 2025 roku OpenAI ogłosiło, że GPT-5 rozwiązał dziesięć problemów Erdősa, ale Bloom wyjaśnił potem, że była to pomyłka: odpowiedzi wygenerowane przez GPT-5 były w rzeczywistości powieleniem istniejących już wyników z prac naukowych znalezionych przez wyszukiwanie w sieci, a nie nowymi odkryciami.

Zdjęcie | Odpowiedź Blooma dla CPO OpenAI (Źródło: X)

Prawdziwy punkt zwrotny nastąpił na początku stycznia 2026 roku. Student Uniwersytetu Cambridge Kevin Barreto i amatorski matematyk Liam Price wspólnie ogłosili rozwiązanie Problem 728 przy użyciu GPT-5.2 Pro. Terence Tao nazwał to „pierwszym problemem Erdősa rozwiązanym przez AI zasadniczo samodzielnie, w duchu oryginalnego problemu, w sposób nieopisany w literaturze naukowej”, oceniając, że„w dużej mierze zostało to wykonane samodzielnie przez AI”, co naprawdę pokazuje„jak te narzędzia poprawiły się w ostatnich miesiącach”.

Jak więc wygląda sprawa Problem 281, który wywołał tyle emocji?

Problem dotyczy własności gęstości ciągów liczb całkowitych w klasach reszt. Dowód GPT-5.2 Pro opublikowany przez Somaniego wykorzystuje ramy teorii ergodycznej. Terence Tao potwierdził poprawność logiczną i szczególnie podkreślił:„Unika on typowych błędów przy przechodzeniu do granicy lub zamianie kwantyfikatorów, na które niemal na pewno napotkałyby poprzednie generacje dużych modeli językowych.”

Zdjęcie | Odpowiedź Terence'a Tao na Problem 281 (Źródło: erdosproblem)

Jednakże, gdy dyskusja trwała w najlepsze, użytkownik forum KoishiChan napisał, że problem ten można w rzeczywistości rozwiązać bezpośrednio za pomocą twierdzenia Rogersa z 1966 roku, w połączeniu z Twierdzeniem 12 z pracy Halberstama–Rotha. Znalazł też archiwalną literaturę, która wyraźnie wyjaśniała tę ścieżkę dowodową.

Terence Tao podążając za tym tropem, odkrył, że istota tego rozwiązania pochodzi w rzeczywistości z artykułu napisanego wspólnie w 1936 roku przez matematyków z Cambridge Davenporta i samego Erdősa.Napisał na forum: „Teraz jestem naprawdę zdezorientowany. Po latach pracy z kongruencjami, Erdős w 1980 roku na pewno znał oba te twierdzenia, a był nawet współautorem tego drugiego wyniku. Nie wiem, co się stało. Bo kiedy już zna się twierdzenie Rogersa, zastosowanie go do tego problemu jest bardzo naturalne; w rzeczywistości ten problem jest niemal szczególnym przypadkiem wyniku Davenporta–Erdősa.”

(Źródło: scite_)

Następnie Terence Tao wymienił e-maile z matematykiem Tenenbaumem, długoletnim współpracownikiem Erdősa.Tenenbaumpotwierdził:„Jeśli użyje się tych dwóch twierdzeń, problem można rozwiązać natychmiast.”Zasugerował, że „obecna treść problemu mogła zostać zmodyfikowana na jakimś etapie”, ale nie znaleziono dotąd żadnej alternatywnej wersji oryginalnego zamysłu, więc należy trzymać się obecnej formy. KoishiChan zażartował: „Może ktoś powiedział Erdősowi to rozwiązanie na przyjęciu koktajlowym, ale nikt nie kontynuował badań.”

Terence Tao podsumował na forum, że powodem, dla którego Problem 281 pozostawał nierozwiązany, było to, że twierdzenie Rogersa „nie zostało odpowiednio rozpowszechnione”: wynik ten pojawia się tylko w monografii Halberstama–Rotha i nigdy nie został opublikowany jako osobny artykuł, a w literaturze był cytowany tylko kilka razy.

Innymi słowy, wkład GPT-5.2 Pro nie polegał na rozwiązaniu naprawdę nierozwiązanego problemu,lecz na ponownym udowodnieniu, za pomocą nowej metody — teorii ergodycznej, problemu, który od dawna był rozwiązywalny, ale z powodu ograniczonego rozpowszechnienia literatury został zapomniany.Podobna sytuacja wystąpiła wcześniej w przypadku Problem 333: AI dobrze radzi sobie ze stosowaniem standardowych narzędzi i efektywnie rozwiązuje problemy „od dawna możliwe do rozwiązania przez ludzi, ale przez nikogo niepodejmowane”.

Co ważniejsze, gdy dyskusja stawała się coraz gorętsza, Terence Tao opublikował post ostrzegający opinię publiczną przed „biasem raportowania”. Napisał na Mathsodon: „Gdy naukowcy próbują rozwiązywać problemy za pomocą AI i im się nie udaje, prawie nigdy nie publikują wyników; sukcesy natomiast łatwo rozprzestrzeniają się wirusowo w mediach społecznościowych. Dlatego postrzeganie, że ‘AI nieustannie rozwiązuje trudne problemy’, jest poważnie przesadzone”.

(Źródło: Mathstodon)

Aby skorygować to wypaczenie, promował bazę danych stworzoną przez matematyków Paata Ivanisvili i Mehmeta Marsa Sevena, która systematycznie rejestruje wszystkie wyniki prób AI rozwiązania problemów Erdősa.Dane pokazują: rzeczywisty wskaźnik sukcesu narzędzi AI wynosi tylko od 1% do 2%.

Zdjęcie | Baza danych GitHub stworzona przez matematyków Paata Ivanisvili i Mehmeta Marsa Sevena (Źródło: GitHub)

Terence Tao skomentował: „Mimo to, biorąc pod uwagę, że nadal jest ponad 600 nierozwiązanych problemów, to wciąż imponujący i niebanalny wkład. Ale te sukcesy zdecydowanie koncentrują się na niższym końcu spektrum trudności i nie dotykają jeszcze problemów o średniej trudności.”

Ludzie z branży mają na ten temat różne opinie. Założyciel firmy Harmonic, Tudor Achim, zauważa: „Prawdziwie przekonującym dowodem nie są raporty medialne ani dane, lecz to, że profesorowie matematyki i informatyki zaczynają używać tych narzędzi w badaniach naukowych. Mają do stracenia reputację i nie podpiszą się pod czymś lekkomyślnie.” Narzędzie Aristotle tej firmy potrafi automatycznie przekształcać dowody w języku naturalnym na sformalizowany kod Lean, odgrywając kluczową rolę w badaniach matematycznych wspieranych przez AI.

Opiekun strony Erdősa, Bloom, jest optymistyczny co do obecnego tempa rozwoju dużych modeli:„Problemy rozwiązane przez AI mają obecnie stopień trudności odpowiadający pierwszemu roku studiów doktoranckich. To wciąż imponujące — bo wymaga nieprzeciętnych zdolności rozumowania.”Dodał, że przed październikiem 2025 roku, gdy próbował używać ChatGPT, „generował tylko zmyślone prace, same halucynacje”, ale „od około października nastąpiła jakaś rzeczywista zmiana”.

Rzeczywiście, postęp GPT-5.2 Pro w zakresie rozumowania matematycznego jest realny: potrafi generować ścisłe logicznie dowody, unikać typowych błędów, co rok temu było nie do pomyślenia. Ponadto wykazuje praktyczną wartość w systematycznym odkrywaniu „ignorowanych problemów z długiego ogona”, wspomaganiu wyszukiwania literatury i formalnej weryfikacji.

Ale równie ważne jest, by nie ulec selektywnej narracji mediów społecznościowych. Tzw. „nierozwiązane przez 45 lat” często oznacza tylko, że przez 45 lat nikt się nimi nie interesował; wskaźnik sukcesu 1%–2% nie oznacza, że AI opanowała matematykę. Problemy Erdősa o średnim i wyższym poziomie trudności wciąż znacznie przekraczają obecne możliwości AI.